En la antigüedad la matemática se enseñaba y se ejercía de una forma muy diferente a la matemática actual, las demostraciones y algoritmos matemáticos anteriormente se realizaban muy apegados a la intuición, a la practicidad y la geometría.
El uso de la notación matemática moderna fue introducida mucho más tarde por el abogado y matemático francés François Viète, introdujo el uso de letras para representar variables y constantes, así dando menos dependencia de la geometría, también René Descartes en su obra “La Géometríe” unió la geometría analítica y el álgebra, dándole una nueva interpretación a diferentes ecuaciones y separándola aún más de la geometría clásica (Euclidiana).
Las primeras civilizaciones de las que se tiene constancia de la utilización dematemáticas para su desarrollo, fueron la civilización Egipcia y Babilónica, posteriormente se fueron expandiendo estos conocimientos por todo el mundo, donde cada civilización realizó grandes aportaciones y dotó a la matemática de mayor fuerza y rigurosidad, pero para los fines de este texto nos centraremos en las aportaciones que hicieron los árabes y algunos matemáticos europeos, nos concentramos en los principios del álgebra.
Expresiones que actualmente son reconocibles para cualquiera como x^2 = 9 antiguamente era escrito como «El cuadrado de longitudes x cuya área vale 9», las ecuaciones matemáticas eran enunciadas sin una simbología especial, tal cual en palabras (dando origen a lo que llamamos hoy como lenguaje algebraico), los algoritmos para hallar la solución a diferentes ecuaciones eran incluso redactadas como poemas y en algunos casos los algoritmos tenían métodos de construirse geométricamente para llegar a una solución, como algunas de las demostraciones de Euclides mostradas en su obra «Los Elementos». Si un resultado no se podía encontrar una relación física, geométrica o un método constructivo, era ignorada totalmente, por ejemplo, de la misma ecuación mostrada anteriormente, actualmente aceptamos sin problemas que x tendría dos valores igual de válidos, cuando x = 3 y x = -3, pero como no tiene sentido hablar de un cuadrado de longitudes -3, esa opción era “inutil”.
Diofanto de Alejandría fue un matemático griego, considerado como el padre del álgebra junto con Al-Juarismi, Diofanto aportó enormemente a la solución de ecuaciones polinómicas (de primer grado en su mayoría), Diofanto desarrolló un método para obtener las soluciones de una ecuación de primer grado (forma ax + by = c) con coeficientes enteros, su método funciona siempre y cuando la ecuación tenga soluciones enteras, pero no trabajaba con números negativos, estos números no eran tan aceptados en su época, se entendían como deudas o pérdidas, pero no se formalizaron en el sistema numérico hasta mucho después.
Más tarde el matemático persa Al-Juarismi, quien introdujo la palabra y el concepto de álgebra en el mundo islamico, formalizó las reglas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, Omar Khayyam destacó por su trabajo en la solución de ecuaciones cúbicas mediante métodos geométricos.
Para mencionar algunos de los métodos y demostraciones geométricas podemos mencionar a un binomio al cuadrado, para demostrar geométricamente que (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 se puede ver en la siguiente figura:
También podríamos mencionar el método de factorización de «Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto», si tuviéramos la siguiente expresión x^2+26x=27 el método me pide completar el cuadrado con otro cuadrado, resolviendo de esa manera el problema. Vea la siguiente imagen.
Se obtiene la mitad de 26 para poder construir un cuadrado cuyos lados valen 13 y su área es de 169, al sumar 169 + 27 = 196 y la raíz de 196 es 14, por lo que una solución es que x_1 = 1 y la otra es que x_2 = -27.
Es de esperar que mientras más avanzaba la matemática, los matemáticos se fueron encontrando con problemas de mayor dificultad, para resolver una ecuación se tenía que plantear un problema geométrico para cada ecuación, lo cual era tedioso u otras veces imposible de realizar, por ejemplo el encontrar la solución de una ecuación de 3er grado de la forma “ax^3 + bx^2 + cx + d = 0”, muchos matemáticos trataron de encontrar un método que nos diera la solución de esta ecuación, pasaron décadas hasta que el matemático italiano Scipione del Ferro encontró una forma de obtener la solución de una ecuación de 3er grado reducida, es decir, de la forma “x^3 + bx + c = 0”, más tarde el matemático veneciano Niccolo Fontana Tartaglia perfeccionó el método para resolver la ecuación cúbica, aunque no hizo público su método más tarde el matemático italiano Gerolamo Cardano publicó el método y las fórmulas que encontró en su obra “Artis Magna” causando un intenso debate entre Tartaglia y Cardano, actualmente las fórmulas se les conoce como “Fórmulas de Cardano-Tartaglia”.
Hasta este momento todavía se aceptaban las demostraciones y métodos muy relacionados con la geometría, pero el desarrollo del método de la ecuación de 3er grado abrió la puerta a un mundo nuevo que ya nunca pudo cerrarse, el mundo de los números complejos.
Los matemáticos al enterarse de las fórmulas de Cardano-Tartaglia empezaron a aplicar el método activamente, pero no pasó mucho tiempo hasta que surgió un nuevo problema, en algunos cálculos se obtienen raíces cuadradas negativas y eso claramente no tenía sentido al trabajar con los números reales, como mencionamos anteriormente no hay ningún cuadrado que tenga área negativa y por ende longitudes negativas, entonces esto dió origen a la teoría de los números imaginarios, en este momento se tuvo que romper definitivamente la relación de la geometría Euclidiana y el álgebra, entre lo físico y lo teórico, por lo cual la matemática se volvió más rica y extensa, de inmediato salían resultados interesantes e importantes, ecuaciones que se consideraban irresolubles ahora tenían solución y no sólo una única solución, sino hasta varias, por ejemplo, la ecuación de segundo grado x^2 + 1 = 0 si despejamos x se obtiene x^2 = -1 por lo que ahora x_1 = i y x_2 = -i, y en efecto, son soluciones que satisfacen la ecuación original.
Los números complejos fue una total revolución en el mundo matemático, extendió la matemática como nunca antes, está en la teoría de ecuaciones, ecuaciones diferenciales, cálculo diferencial e integral e incluso en la mejor teoría física actualmente. Esto nos demuestra que a pesar de que una idea sea tan abstracta, tanto que ni tiene representación física, nos permite entender mejor el universo tanto físico como matemático.
Fuentes:
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ferro/
https://www.ugr.es/~eaznar/tartaglia.htm
https://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cardano.htm
Teoría de Ecuaciones – Uspenky
Revista Columnas 
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