¿En qué consistió el Programa de Hilbert y cómo influyó en la Teoría de la Demostración?

David Hilbert fue un matemático alemán muy importante e influyente en los siglos XIX y XX, nació el 23 de enero de 1862, estableció su reputación como gran matemático y científico, inventando y desarrollando ideas que revolucionaron el universo matemático de la época, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert que es uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert trabajó como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886 a 1895, posteriormente, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de Göttingen, que en aquella fecha era el mejor centro de investigación matemática en el mundo; aquí permanecería el resto de su vida.

Durante su estancia en la universidad de Göttingen, David Hilbert enfocaba su atención en resolver las grandes problemáticas en las matemáticas de ese entonces, por mencionar algunas tenemos:

Las paradojas en la Teoría de Conjuntos: Georg Cantor había creado la Teoría de Conjuntos que parecía ser un lenguaje perfecto y fundamental para todas las matemáticas, sin embargo, dentro de la misma Teoría se encontraron paradojas como la de Cantor y la de Russell, ésta última fue la más devastadora ya que planteaba lo siguiente: Sea X un conjunto arbitrario y un conjunto 𝑹:={𝐗 | 𝐗∉𝑹 }, en palabras, quiere decir que R es el conjunto de todos los conjuntos X tales que X no es un elemento de R, si asumimos que R existe entonces: Si 𝑹∈𝑹, entonces, por definición, 𝑹∉𝑹 y si 𝑹∉𝑹, entonces cumple la condición para estar en 𝑹, así que 𝑹∈𝑹, claramente en ambos casos terminamos con una contradicción, por lo tanto tal conjunto R no puede existir, este problema se resolvió axiomatizando rigurosamente a la Teoría de Conjuntos Cantoriana.
La Controversia del Infinito: Para la mayoría de personas les es natural pensar que el conjunto de los números Naturales y los números Reales son conjuntos que tienen una infinidad de elementos, pero Cantor demostró por medio de “el Argumento de la Diagonal” que el conjunto de los números Reales es más grande que el conjunto de los Naturales, por lo que acabó concluyendo que hay infinitos más grandes que otros. Esta afirmación no fue bien recibida por toda la comunidad matemática de entonces, el mayor retractor fue el matemático Leopold Kronecker, que atacó fuertemente a Cantor y a su Teoría, esta discusión fue tan grande que hasta el mismo Hilbert tuvo que intervenir, Hilbert fue uno de los matemáticos que defendió firmemente a la Teoría de Conjuntos de Cantor.
El Intuicionismo: El matemático L. E. J. Brouwer inició una escuela de pensamiento matemático con corriente Intuicionista, es decir, sostenía que las matemáticas son una construcción de la mente humana y que la verdad matemática surge de la actividad mental constructiva del matemático. Brouwer defendía que la existencia de un objeto matemático sólo se podía aceptar si se puede proporcionar un método constructivo. Esta filosofía atacaba directamente a la matemática clásica, ya que algunas pruebas se basaban en demostraciones no constructivas, por lo que la comunidad matemática se estaba dividiendo sobre qué métodos de demostración serían entonces válidas.

Al encontrarse estas problemáticas, Hilbert, ya consagrado, se propuso a «salvar» la matemática, su meta era:

Formalización Completa de las Matemáticas: Buscaba convertir todas las ramas de la matemática en sistemas formales puramente simbólicos, es decir, definir un conjunto de axiomas y reglas de inferencia de manipulación de símbolos, libres de cualquier significado intuitivo o ambiguo.
Demostrar Consistencia: Buscaba demostrar que otros sistemas deductivos no pueden generar contradicciones como 1=0 o P^¬P.
Demostrar Completitud: Buscaba demostrar que para cualquier proposición dentro de un sistema deductivo sea demostrable.
Demostrar Decidibilidad: Buscaba probar que existiera un algoritmo finito que, para cualquier proposición en un sistema deductivo determine si será demostrable o no.

A esta propuesta de salvar la matemática se le llama «Programa de Formalización». El programa de Hilbert no fue un esfuerzo en solitario, sino un proyecto que atrajo a grandes mentes, juntos formaron lo que a menudo se llama la «Escuela de Hilbert».

Algunos de los matemáticos que formaron parte de ella fueron Wilhelm Ackermann, John Von Neumann, Paul Bernays, etcétera. Y como toda innovación hay quienes no la terminan aceptando por completo, el principal retractor fue el mismo líder intuicionista L.E.J Brouwer.

La relación del Programa de Hilbert y la Teoría de la Demostración es muy profunda, podríamos pensar dicha relación como si el Programa de Hilbert fue el marco motivacional y de investigación, mientras que la Teoría de la Demostración es la diciplina matemática que surgió de ese programa.

Antes de Hilbert las demostraciones, en gran medida, eran argumentos destinados a convencer a otros matemáticos, pero Hilbert transformó la demostración misma en un objeto de estudio matemático formal. La Teoría de la Demostración es una rama de la lógica matemática que estudia las demostraciones, su propuesta central es aplicar métodos matemáticos para analizar la estructura, propiedades y la eficiencia de los métodos demostrativos.

¿Se logró el objetivo de Hilbert?

Conforme el Programa de Hilbert avanzaba se iban logrando importantes avances, por ejemplo: Hilbert junto con Ackermann fueron autores del texto fundamental «Grundzuge der Theoretischen Logik» (principios de Lógica Teórica), así sentaron las bases de la lógica matemática moderna, Paul Bernays es coautor del monumental e influyente trabajo de dos volúmenes de «Grundlagen del Mathematik» (Fundamentos de las Matemáticas) donde se daba la exposición definitiva del Programa de Hilbert, Ackermann y Neumann trabajaron en una prueba de consistencia de un fragmento de la aritmética, creían haber logrado una prueba finitista, pero más tarde otro personaje importante encontraría un error en dicha prueba, ese personaje era nada menos quien Kurt Gödel.

Kurt Gödel fue un matemático, lógico y filósofo austriaco muy importante, Godel nunca intentó «derrotar» a Hilbert personalmente, simplemente siguiendo las preguntas planteadas por Hilbert encontró las respuestas, pero fueron totalmente devastadoras para el Programa de Hilbert.

A la temprana edad de 24 años Kurt Gödel concibió y demostró sus ahora llamados Teoremas de Incompletitud, los cuales se muestran a continuación:

Primer Teorema de Incompletitud: «Cualquier sistema formal consistente y suficientemente expresivo (que incluya aritmética básica) contiene proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse ni refutarse dentro del sistema.»
Segundo Teorema de Incompletitud: «Ningún sistema consistente puede demostrar su propia consistencia.»

Estos resultados que, en definitiva, no eran los que Hilbert esperaba, pues sepultaba sus ambiciones de encontrar un sistema deductivo completo, mostraron que la consistencia y la completitud no podían alcanzarse simultáneamente. Aunque Gödel mató al Programa de Hilbert, no mató a la Teoría de la Demostración, sino, la enriqueció y la redefinió.

Hilbert nunca aceptó plenamente las implicaciones de los teoremas de Gödel, pero la comunidad matemática sí lo hizo. En 1930, durante una conferencia, Gödel anunció informalmente su Primer Teorema de Incompletitud, Von Neumann fue quizás el único en la audiencia que entendió inmediatamente la profundidad de sus ideas. Tras estudiar su trabajo en profundidad, Von Neumann abandonó por completo su propia investigación en pruebas de consistencia. Reconoció de inmediato que los teoremas de Gödel hacían imposible el objetivo central del programa. Se convirtió en uno de los mayores defensores y divulgadores de los resultados de Gödel.

Si no fuera suficiente, el matemático británico Alan Turing abordó el problema de la decidibilidad que Hilbert había planteado. En 1936 demostró que era irresoluble, no existe un algoritmo general (una máquina de Turing) que pueda decidir si cualquier enunciado matemático es demostrable o no. Esto fue otro golpe mayor al programa, resolviendo el problema de manera negativa.

Aunque no hay un documento donde Hilbert diga que se retracta, el programa tal como lo concibió fue demolido. Los teoremas de Gödel y el resultado de Turing sobre el «Entscheidungsproblem» (El problema de decisión) demostraron que sus tres objetivos principales (completitud, consistencia demostrable con métodos finitistas y decidibilidad) eran inalcanzables.

El legado de Hilbert no es su programa fallido, sino las herramientas y preguntas que generó, las cuales al intentar darles respuesta nos llevaron a estos descubrimientos tan revolucionarios y significativos.