Primeramente, una demostración es un razonamiento lógico que parte de premisas conocidas y llega a una conclusión sin dejar ambigüedades.

Las demostraciones no son un concepto nuevo, las primeras se remontan hasta la antigua Grecia, gracias a Aristóteles, Platón, Sócrates, Euclides, etc. Sin embargo, antes de ellos no se hacían o, al menos, no con el mismo rigor. La mayoría de los cálculos y procedimientos matemáticos se enfocaban en la practicidad, no interesaba probar si el método era eficiente o cierto para toda situación, se interpretaba como una obviedad, por ejemplo: en la aritmética básica aprendemos a operar números naturales, el primer matemático que definió a este tipo de números fue el italiano Giuseppe Peano por medio de cinco axiomas, hoy conocidos como los «Axiomas de Peano», a partir de estas proposiciones podemos afirmar y demostrar que 1+1=2 sin problemas, pero si cambiamos las reglas del juego modificando algún axioma, la afirmación planteada anteriormente podría ser falsa o inclusive imposible de demostrar. Un ejemplo histórico paradigmático es el del «Quinto Postulado de Euclides», que al ser modificado dio lugar a geometrías no euclidianas –la elíptica e hiperbólica–, que son tan consistentes como la tradicional, demostrando que la «verdad» de un teorema depende por completo de los axiomas elegidos.

Gracias a la influencia de la filosofía se impulsó la búsqueda de verdades universales, no sólo ejemplos prácticos, pues se empezaron a usar reglas lógicas para inferir conclusiones de premisas. Los griegos priorizaron la prueba sobre el resultado, mientras que otras culturas a menudo buscaban primero la utilidad.

Aunque los griegos sentaron las bases, tanto sus demostraciones como las de Euclides tenían «lagunas» desde la perspectiva moderna. A menudo dependían de intuiciones geométricas no explicitas en los axiomas. La búsqueda de un rigor absoluto es un fenómeno mucho más moderno que culmina en los siglos XIX y XX con figuras como Cauchy, Weierstrass y el propio programa de Hilbert que buscaba proporcionar una base sólida, completa y definitiva para toda la matemática.

Los babilonios y egipcios poseían un conocimiento matemático sofisticado y empíricamente muy efectivo, lejos de que su enfoque fuera deductivo era, fundamentalmente, práctico y algorítmico; por mencionar un ejemplo podríamos nombrar el «Papiro de Rhind», donde se encontró una fórmula para calcular el área de un círculo de diámetro “d” expresada como «𝐴=(𝑑−𝑑/9)2», la cual es una aproximación muy buena al valor real que hoy podemos calcular por medio de «𝐴=𝜋𝑟^2». No buscaban demostraciones universales basadas en axiomas, sino procedimientos verificados para resolver problemas concretos de agrimensura, arquitectura, administración y comercio.

En India, matemáticos como Āryabhaṭa en el siglo V y Bhāskara II en el siglo XII realizaron contribuciones monumentales, especialmente en álgebra y astronomía. Sus justificaciones eran a menudo intuitivas y algorítmicas, basadas en ideas geométricas visuales y en la manipulación ingeniosa de fórmulas, lejos de ser una cadena deductiva de axiomas.

Durante la Edad de oro del islam, entre los siglos IX y XII, los eruditos árabes como Al-Juarismi y Omar Khayyam actuaron como puente crítico entre las matemáticas griegas y las del futuro Renacimiento europeo, pues combinaron demostraciones griegas con métodos algebraicos y geométricos. Podemos concluir que una demostración depende críticamente de los axiomas, definiciones, teoremas, lemas –etcétera– utilizados, incluso dependerán del método demostrativo y el marco teórico que se tenga.

Estos métodos demostrativos son diversas estrategias lógicas para construir el razonamiento, los más comunes incluyen la demostración directa, la prueba por contradicción –o reducción al absurdo–, la contrapositiva y el método de inducción matemática que es especialmente útil para propiedades de los números naturales.

En la opinión de este autor las demostraciones son el fundamento de las matemáticas e incluso son importantes en la vida cotidiana porque:

• Validan la verdad de una afirmación de manera lógica y rigurosa.
• Desarrollan el pensamiento crítico, enseñando a argumentar con precisión dentro y fuera del campo de las matemáticas.
• Evitan errores, ya que una conjetura no demostrada puede ser falsa.

No toda proposición matemática puede ser demostrable, y esto se debe a razones profundas vinculadas a los fundamentos de la lógica; ya que un método de demostración puede ser ineficiente o inútil para probar alguna proposición, y en las matemáticas porque, como discutimos anteriormente, dependemos del marco teórico y los axiomas o teoremas que se tengan disponibles, por ejemplo, la «Conjetura de Goldbach» aún no ha sido demostrada y no se sabe si es correcta o falsa, ya que aún no se han planteado algún marco teórico adecuado o algún método demostrativo que nos ayude a demostrarla, otro ejemplo es la «Conjetura de Fermat» –hoy nombrado como el Último Teorema de Fermat–, que para demostrarla tuvieron que pasar más de 350 años.

Actualmente, el arte de hacer alguna demostración matemática tiene su propio campo de estudio, la «Teoría de la Demostración», esta Teoría planteada a principios del siglo XX apoyada por David Hilbert, no se enfoca el significado de las proposiciones (semántica), se centra en su estructura y sintaxis, analizando cómo se construyen las demostraciones a partir de axiomas y reglas de inferencia, pero también estudia sus limitaciones regidas por los Teoremas de Incompletitud de Gödel, los cuales establecen que en cualquier sistema axiomático suficientemente robusto existirán afirmaciones verdaderas que son formalmente indemostrables dentro del mismo sistema, pero esta teoría la estudiaremos más a profundidad en el siguiente segmento.

Fuentes:

https://www.britannica.com/science/mathematics/Mathematics-in-ancient-Egypt https://www.youtube.com/watch?v=9zAxhzWC44k&t=184s https://www.youtube.com/watch?v=-YyCTGn0Ncs

https://www.youtube.com/@Delta_de_Kronecker